基本函数

Maths.sqrt 2.
>- : float = 1.41421356237309515

三角函数

正弦、余弦和正切函数属于三角函数，它们将两条边的比率与直角三角形的角度联系起来。它们包括常用的sin和cos等，以及它们的倒数，如余割、正割等。这些函数在不同领域的数值计算应用中广泛使用，如力学和几何学。这些三角函数都是一元函数，例如：

Maths.sin (Owl_const.pi /. 2.)
>- : float = 1.

它们都包含在 Owl 的数学模块中，如[@tbl:maths:triangular]所示。

这里的\(B_n\)是第\(n\)个贝努利数，\(E_n\)是第\(n\)个欧拉数。图[@fig:algodiff:trio]显示了这些三角函数之间的关系。这个图表受到了维基百科的一篇文章的启发。这些函数还有相应的反函数：asin、acos、atan、acot、asec、acsc。例如，如果\(\sin(a) = b\)，那么\(\textrm{asin}(b) = a\)。

另一个相关的概念是双曲函数，如sinh和cosh。这些函数是使用指数函数定义的。正如我们在[@#fig:algodiff:trio]中看到的，三角函数与圆相关。类似地，双曲函数与双曲线相关。例如，点(cosh(x), sinh(x))形成等边双曲线的右半部分，就像圆上的(cos(x), sin(x))一样。双曲函数广泛应用于数值计算中，如微分方程解、双曲几何等。

• sinh: \(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\), derivative is \(\cosh(x)\), and taylor expansion is \(\sum_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\).
• cosh: \(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\), derivative is \(\sinh(x)\), and taylor expansion is \(\sum_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\).
• tanh: \(\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\), derivative is \(1-\tanh^2(x)\), and taylor expansion is \(\sum_{n=1}\frac{4^n(4^n-1)B_{2n}~x^{2n-1}}{(2n)!}\).
• coth: \(\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}}\), derivative is \(1-\coth^2(x)\), and taylor expansion is \(\frac{1}{x}-\sum_{n=1}\frac{4^n~B_{2n}~x^{2n-1}}{(2n)!}\).
• sech: \(1/\cosh(x)\), derivative is \(-\tanh(x)/\cosh(x)\), and taylor expansion is \(\sum_{n=0}\frac{E_{2n}~x^{2n}}{(2n)!}\).
• csch:\(1/\sinh(x)\), derivative is \(-\coth(x)/\sinh(x)\), and taylor expansion is \(\frac{1}{x}+\sum_{n=1}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}~x^{2n-1}}{(2n)!}\).

同样地，每个这些函数都有对应的逆函数：asinh、acosh、atanh、acoth、asech、acsch。这些双曲三角函数之间的关系在[@fig:algodiff:hyper_trio]中清晰地描绘出来。

除了这些函数外，还有一些相关的函数。 sinc 返回 \(\sin(x)/x\) 并且在 \(x=0\) 时为 1。 logsinh 返回 \(\log(\sinh(x))\) 但处理大的 \(|x|\)。 logcosh 返回 \(\log(\cosh(x))\) 但处理大的 \(|x|\)。 sindg/cosdg/tandg/cotdg 是以度为单位给定的角度的正弦/余弦/正切/余切。

其他数学函数

还有一些在传统数学中可能不太常用的其他函数。像 sigmoid 和 relu 这样的函数在深度学习中经常用作神经网络中的激活函数。激活函数对于神经网络在输出结果、准确性、收敛速度等方面都至关重要。我们将在本书后面的神经网络章节中详细讨论它们。

• sigmoid x: \(1 / (1 + \exp(-x))\)
• signum x: 返回 x 的符号：-1、0 或 1
• softsign x: 平滑 sign 函数
• relu x: \(\max(0, x)\)

艾里函数

艾里函数 Ai(x) 以英国天文学家乔治·B·艾里的名字命名。它是二阶线性微分方程的解：

\[y''(x) = xy(x).\]

这个微分方程有两个线性无关的解 Ai 和 Bi。Owl 提供 airy 函数来执行此操作：

val airy : float -> float * float * float * float

返回的四个数字分别是 Ai、它的导数 Ai'、Bi 和它的导数 Bi'。让我们看一个例子。它绘制了两个解 Ai 和 Bi 在[@fig:algodiff:airy]中。

let x = Mat.linspace (-15.) 5. 200

let y0 = Mat.map (fun x ->
    let ai, _, _, _ = Maths.airy x in ai
) x

let y1 = Mat.map (fun x ->
    let _, _, bi, _ = Maths.airy x in bi
) x

let _ =
  let h = Plot.create "special_airy.png" in
  Plot.(plot ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2. ] x y0);
  Plot.(plot ~h ~spec:[ RGB (219, 68,  55); LineStyle 2; LineWidth 2. ] x y1);
  Plot.(set_yrange h (-0.5) 1.);
  Plot.(legend_on h ~position:SouthEast [|"Ai"; "Bi"|]);
  Plot.output h

贝塞尔函数

贝塞尔函数由数学家丹尼尔·贝努利首次定义，然后由弗里德里希·贝塞尔进行了泛化，它们是贝塞尔微分方程的规范解：

\[x^2y''+xy'+(x^2 - \alpha^2)y = 0.\]

复数\(\alpha\)被称为贝塞尔函数的“阶”。贝塞尔函数在研究波传播和静电势等许多问题中非常重要，例如在圆柱波导中的电磁波。在解决柱坐标系时，通常使用整数阶或半整数阶的贝塞尔函数。

贝塞尔函数可以分为两种。两种都是贝塞尔微分方程的解，但第一种在原点处是非奇异的，而第二种在原点处是奇异的（\(x=0\)）。特殊情况是当\(x\)是纯虚数时。在这种情况下，解被称为修改的贝塞尔函数，它也可以被归类为第一种和第二种。基于这些类别，Owl提供了这些函数。

椭圆函数

Jacobi椭圆函数用于研究摆动运动。共有十二个Jacobi椭圆函数，而我们在这里包括的ellipj返回其中三个：sn、cn和dn。该函数的第四个输出phi被称为输入u的振幅。

另一方面，椭圆积分最初用于找到椭圆的周长。椭圆积分函数可以表示为：\[f(x)=\int_c^xR(t, \sqrt{P(t)})dt,\]其中\(R\)是其两个参数的有理函数，\(P\)是次数为3或4的多项式，没有重复的根，\(c\)是一个常数。椭圆积分可以分为“完全”或“不完全”。前者是一个单一参数的函数，而后者包含两个参数。每个椭圆积分都可以变换，使其包含有理函数和三个Legendre标准形式的积分，根据这些形式，椭圆可以分为第一、第二和第三类。Owl中的椭圆函数列在[@tbl:maths:elliptic]中。

我们可以使用ellipe计算椭圆的周长。通常，要计算这个需要微积分，但椭圆函数提供了一个简单的解决方案。假设一个椭圆的半长轴\(a=4\)，半短轴\(b=3\)。我们可以简单地使用\(4a\textrm{ellipe}(1 - \frac{b^2}{a^2})\)来计算其周长。

let a = 4.
>val a : float = 4.
let b = 3.
>val b : float = 3.
let c = 4. *. a *. Maths.(ellipe (1. -. pow (b /. a) 2.))
>val c : float = 22.1034921607095072

伽玛函数

对于正整数n，伽玛函数是阶乘函数：

\[\Gamma(n) = (n-1)!\]

对于具有正实部的复数\(z\)，伽玛函数定义为：

\[\Gamma(z) = \int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx.\]

这里的伽玛函数是从零到无穷的积分。如果我们将其更改为从零到某个上限的积分，则称为“下不完全伽玛函数”。同样，如果是从某个下限到无穷的积分，则该积分称为“上不完全伽玛函数”。

伽玛函数在流体动力学、几何学、天体物理学等多个领域广泛应用。它特别适用于描述时间或空间中呈指数衰减的过程的普遍模式。Owl提供的伽玛函数及相关函数列在[@tbl:maths:gamma]中。

这里是使用 gamma 的一个例子。

let x = Mat.linspace (-3.5) 5. 2000

let y = Mat.map Maths.gamma x

let _ =
  let h = Plot.create "example_gamma.png" in
  Plot.(plot ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2. ] x y);
  Plot.(set_yrange h (-10.) 20.);
  Plot.output h

Beta 函数

Beta 函数定义为：

\[B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]

这里 \(\Gamma\) 是 Gamma 函数，类似于 Gamma 函数，Beta 函数也有其“不完全”版本。不完全 Beta 函数将此定义扩展为：

\[B(x, a, b) = \int_0^xt^{a-1}(1-t)^{b-1}dt.\]

在 Owl 中，可以使用 Maths 模块中的 beta x y 函数调用 Beta 函数，其不完全版本是 betainc a b x。我们还提供了 betaincinv 函数，它是 betainc 的反函数。

Beta 函数有几个属性。例如，下面的代码显示了 beta 函数和 gamma 函数之间的关系。

let x = Maths.beta 3. 4.
>val x : float = 0.0166666666666666664
let y = Maths.((gamma 3.) *. (gamma 4.) /. (gamma (7.)))
>val y : float = 0.0166666666666666664

另一个属性是其对称性，即 \(B(x,y) = B(y, x)\)。

let x = Maths.beta 3. 4.
>val x : float = 0.0166666666666666664
let y = Maths.beta 4. 3.
>val y : float = 0.0166666666666666664

斯特鲁夫函数

斯特鲁夫函数定义如下：\[H_v(x) = (z/2)^{v + 1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (z/2)^{2n}}{\Gamma(n + \frac{3}{2}) \Gamma(n + v + \frac{3}{2})},\]

其中\(\Gamma\)是伽玛函数。除非\(v\)是整数，否则\(x\)必须为正数。斯特鲁夫函数广泛应用于各种物理应用，如水波问题和非定常空气动力学计算等。

Owl函数struve v x返回斯特鲁夫函数的值。参数\(v\)被称为此函数的阶。以下是显示阶从0到4的斯特鲁夫函数曲线的示例。

let _ =
  let h = Plot.create "example_struve.png" in
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2.] (Maths.struve 0.) (-12.) 12.);
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (219, 68,  55); LineStyle 2; LineWidth 2.] (Maths.struve 1.) (-12.) 12.);
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (244, 180,  0); LineStyle 3; LineWidth 2.] (Maths.struve 2.) (-12.) 12.);
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (77,  81,  57); LineStyle 1; LineWidth 2.] (Maths.struve 3.) (-12.) 12.);
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (111, 51, 129); LineStyle 2; LineWidth 2.] (Maths.struve 4.) (-12.) 12.);
  Plot.(set_yrange h (-3.) 5.);
  Plot.(legend_on h ~position:SouthEast [|"H0"; "H1"; "H2"; "H3"; "H4"|]);
  Plot.output h

Maths.zeta 4. 1.
>- : float = 1.08232323371113837
(Maths.pow Owl_const.pi 4.) /. 90.
>- : float = 1.08232323371113792

误差函数

这里的误差函数不是关于编程中的错误处理，而是另一类特殊函数。在数学中，误差函数定义为：\[\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2})dt.\]

误差函数经常出现在概率和统计学中。实际上，在统计学中，对于非负值x，erf x是随机变量y落在范围[-x, x]的概率。这里y服从均值为0、方差为0.5的正态分布。由于它表示某种概率，补充误差函数1 - erf(x)也经常使用。Owl中的误差函数及其相关变体列在[@tbl:maths:error]中。

误差函数 {#tbl:maths:error}

函数	解释
erf x	误差函数
erfc x	补充误差函数：\(1 - \textrm{erf}(x)\)
erfcx x	缩放的补充误差函数：\(\exp(x^2) \mathrm{erfc}(x)\)
erfinv x	误差函数的反函数
erfcinv x	补充误差函数的反函数

误差函数是一个sigmoid函数。我们可以通过下面的代码观察其形状。

let _ =
  let h = Plot.create "example_erf.png" in
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2.] Maths.erf (-3.) 3.);
  Plot.output h

let _ =
  let h = Plot.create ~m:1 ~n:2 "example_integrals.png" in
  Plot.subplot h 0 0;
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2.] Maths.dawsn (-5.) 5.);
  Plot.set_ylabel h "dawsn(x)";
  Plot.subplot h 0 1;
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (66, 133, 244); LineStyle 1; LineWidth 2.] (fun x -> let s, _ = Maths.fresnel x in s) 0. 5.);
  Plot.(plot_fun ~h ~spec:[ RGB (219, 68,  55); LineStyle 2; LineWidth 2.] (fun x -> let _, c = Maths.fresnel x in c) 0. 5.);
  Plot.(legend_on h ~position:SouthEast [|"S(x)"; "C(x)"|]);
  Plot.set_ylabel h "fresnel(x)";
  Plot.output h

除了这两个之外，还提供了其他几种特殊积分函数。完整列表显示在[@tbl:maths:integral]中。